Author's photo
Kristína Ď.
matematika - vš

Lineárna závislosť a nezávislosť n-tíc

Dobrý deň.
Potrebovala by som pomôcť s riešením jedného príkladu konkrétne ide o zadanie e. (Viď foto)
Výsledok má byť lineárne závislé, b2=2b1-b3+3b4-2b5

Ďakujem za pomoc a prípadný postup riešenia.

Prílohy:
Question image
3 odpovede
Ak by mi s tým niekto vedel pomôcť bodlo by mi riešenie tu v odpovedi.
Čo sa týka nezávislosti vektorov, na rozdiel od predchádzajúcich častí úlohy 6, je tu, v časti e) viac vektorov než rozmer priestoru. T.j. pracuješ s piatimi vektormi v priestore R^4 z toho musí byť jasné, že tam nie je lineárna nezávislosť. Dokazovať niečo čo musí byť jasné z podstaty veci? - nebránim sa eliminovaniu s nulovým riadkom, ale na čo... Ako učiteľa by ma viac potešilo, že si žiak všimol túto vlastnosť, než iba manuálne dokazovanie.

Napokon dôkazom je druhá časť úlohy - nájsť vyjadrenie pre niektorý z vektorov pomocou zvyšných - t.j. hľadáme akýsi vážený súčet. Ak by boli vektory lin. nezávislé, neexistoval by. Ak takýto súčet nájdeme, vektory nie sú lin. nezávislé.

t.j. chceme nájsť predpis (povedzme že ho hľadáme pre vektor b_1) tvaru:
(*) b_1= c2_b2 + c3_b3 + c4_b4 + c5_b5
c2 ... c5 sú koeficienty z R a b1 až b5 sú vektory z R^4

Ty vravíš, že poznáš riešenie pre vyjadrenie vektoru b_2
(**) b_2= d1_b1 + d3_b3 + d4_b4 + d5_b5,
kde d_1=2 d3_=-1 d_4=3 a d_5=-2

Ak riešenie nepoznáš a chceš ho nájsť je úplne jedno či si povieš, že ho ideš riešiť pre b_1 ako uvádzam v (*) alebo pre b_1 ako uvádzam v (**) alebo pre ktorýkoľvek iný b_#
Na konci dôjdeš k riešeniu z ktorého dokážeš vyjadriť vyjadrenie pre iný vektor. Ak budem riešiť (*) dostanem výsledok z ktorého keď vyjadrím b_2 dostanem to, čo by som dostal riešením systému (**)

Povedzme že idem riešiť (*), potom veľmi ľahko rovnosť (*) zapíšem maticovo:
b_1 = Bc

b_1 je známy vektor, c je vektor koeficientov c_2 až c_5, ktoré hľadám
matica B obsahuje v stĺpcoch vektory b_2, _b_3, b_4 a b_5

Takýto jednoduchý lin. systém vieme riešiť o.i. Gaussovou elimináciou

Dostaneme sa k výsledku:
c_2 = 1/2
c_3 = 1/2
c_4 = -3/2
c_5 = 1

resp. k predpisu:

b_1 = 1/2 b_2 + 1/2 b_3 - 3/2 b_4 + b_5

V zadaní nie je napísané, ktorý vektor máš vyjadriť pomocou ostatných, takže toto by už ako riešenie stačilo. Ty uvádzaš výsledok pre b_2, ak z tejto rovnice, ktorú uvádzam vyjadríš b_2, iste dostaneš riešenie, ktoré uvádzaš ako správne.
predchádzajúce vieš? to e) ako tebe vychádza?
Komentáre:
Kristína Ď.
Predchádzajúce som riešila sústavou rovníc. V predchádzajúcom je riešenie lineárne nezávisle. Čo sa týka tohto skúšala som to riešiť hodnosťou matice.
Milan M.
prečo hodnosťou matice aj teraz sústavou lin. rov.
Kristína Ď.
Keďže vieme vynulovať pri matici druhý alebo piaty riadok, resp. druhú alebo piatu n-ticu. Nie je to jednoduchšie dostať sa k danému výsledku, ktorý má byť b2=2b1-b3+3b4-2b5.