Author's photo
Anonymný autor
matematika

Matematika

Vedel by to niekto vypočítať prosím?

Prílohy:
Question image
1 odpoveď
Dobry den, komplexne cislo sa da vo vseobecnosti zapisat tromi sposobmi:

1) algebraicky: z = a + bi
2) goniometricky: z = cos(fi) + i*sin(fi)
3) exponencialne: z = r*e^(i*fi), kde r je vzdialenost komplexneho cisla z od bodu 0

V tomto priklade vyuzijeme, ze nase cislo z sa da zapisat ako z = 2*e^(i*fi), kde fi sice nepozname, ale nebudeme ho potrebovat. To, ze sa to da urobit takto vieme, lebo mame informaciu, ze z lezi na kruhu s polomerom 2 so stredom v bode 0.

Potom pre z^4 plati z^4 = (2*e^(i*fi))^4 = 2^4*e^(4*i*fi) = 16*e^(4*i*fi). Dostavame tak opat exponencialny tvar komplexneho cisla, az na to, ze v tomto pripade je vzdialenost od stredu nie 2, ale 16. Aby toto cislo lezalo na kruhu s polomerom R so stredom v bode 0 tak, ako to od nas chce zadanie, musime tym padom zvolit R = 16.
Komentáre:
Anonymný autor
Dobrý deň, keby sme to chceli zapísať v goniometrickom? ako by to vyzeralo? respektíve ako by sme dostali hodnotu fi?
Filip V.
Dobre, ze hovorite, goniometricky tvar vyzera inak, ako som napisal, konkretne treba este prenasobit rkom, teda z = r(cos(fi) + isin(fi)), kde r mam tu istu funkciu ako v exponencialnom tvare, teda vzdialenost od stredu Gaussovej roviny. Z toho vyplyva, ze z vieme v nasom pripade napisat ako z = 2(cos(fi) + isin(fi)). Kedze viac informacii o cisle z vsak nemame, to, aky uhol mu zodpoveda, cisto z informacii v zadani zistit nevieme. Pointa vsak je, ze na zodpovedanie otazky ho ani nepotrebujeme.