Anonymný autor

matematika - dôkazy

Dobrý deň, vedel by mi prosím niekto pomôcť s týmito dvoma príkladmi (dôkaz sporom)?
Dokáž sporom:
a) Každé zložené číslo n je deliteľné aspoň jedným prvočíslom p, pre ktoré platí p≤√n
b) Číslo √4 nie je racionálne.

1 odpoveď

Peter K. Kontaktovať

To prvé je ľahké, dôkaz sporom bude prebiehať takto:
Existuje zložené číslo n, ktorého všetky prvočíselné delitele sú (ostro) väčšie ako √n. Potom prvočíselný rozklad čísla vyzerá takto:
n = p1 * p2 *... * pk
Podľa predpokladu sú všetky prvočísla p1 až pk väčšie ako √n, teda
n = p1*p2*... * pk > (√n)^k.
Keďže n je zložené číslo, musí mať najmenej dva prvočíselné delitele, k ≤ 2 a teda dostávame
n > (√n)^2 ≡ n,
čo je nezmyselné tvrdenie.
Keďže obrátený predpoklad vedie k nezmyselnému tvrdeniu, musí platiť pôvodné tvrdenie: každé zložené číslo má prvočíselného deliteľa menšieho ako √n.

Komentáre:

Peter K.

Druhý prípad, √4 JE racionálne číslo. Dôkaz, že napr. √2 je racionálne číslo, bude prebiehať takto: Predpokladajme opak, teda √2 je racionálne a rovné p/q, kde p a q sú celé nesúdeliteľné čísla. Umocníme a dostaneme p^2 = 2 q^2. Z toho vyplýva, že p je párne, p = 2p_1. Dosadíme a máme 2p_1^2 = q^2, a teda aj q je párne, q = 2q_1. To je spor s predpokladom, že p a q sú nesúdeliteľné. Znamená to, že neexistujú nesúdeliteľné čísla p a q také, že √2 = p/q a teda √2 nie je racionálne číslo.

Peter K.

Ospravedlňujem sa za chybu na prvom riadku predošlého komentára, má byť "...Dôkaz, že napr. √2 nie je racionálne číslo..."

Anonymný autor

ďakujem Vám veľmi pekne :)

Pošli svoju otázku Pošli svoju otázku