Otázka 2: Nech I je ohraničený interval. Dokážte, že sup I = sup(I ∩ Q).

Dôkaz:

Nech I je ohraničený interval. Platia tieto nerovnosti:
- Keďže I ∩ Q ⊆ I, tak sup(I ∩ Q) ≤ sup I

Teraz ukážeme opačnú nerovnosť:
- Nech s = sup I
- Pre ľubovoľné ε > 0 existuje x ∈ I také, že s - ε < x ≤ s
- Medzi s - ε a s existuje racionálne číslo q (hustota Q v R)
- Keďže I je interval a obsahuje x, obsahuje aj všetky body medzi s - ε a x
- Teda q ∈ I ∩ Q a q > s - ε
- To znamená, že sup(I ∩ Q) ≥ s - ε pre ľubovoľné ε > 0
- Preto sup(I ∩ Q) ≥ sup I

Z oboch nerovností: sup I = sup(I ∩ Q)

Príklad, kde to neplatí pre inú množinu:
Nech A = {1/n : n ∈ N, n ≥ 1} ∪ {2}

Potom:
- sup A = 2
- A ∩ Q = A (všetky prvky sú racionálne), takže sup(A ∩ Q) = 2

Lepší príklad: A = (0,1) ∪ {2}
- sup A = 2
- sup(A ∩ Q) = 2

Ešte lepší: A = {1 - 1/n : n ∈ N, n ≥ 1} ∪ {√2}
- sup A = √2 (iracionálne číslo)
- A ∩ Q = {1 - 1/n : n ∈ N, n ≥ 1}
- sup(A ∩ Q) = 1 < √2 = sup A

---

Otázka 3: Nech A je otvorená v R, a₀ ∈ A. Potom aj A \ {a₀} je otvorená.

Dôkaz:

Musíme ukázať, že A \ {a₀} je otvorená množina, t.j. pre každý bod x ∈ A \ {a₀} existuje okolie, ktoré je celé v A \ {a₀}.

Nech x ∈ A \ {a₀}, teda x ∈ A a x ≠ a₀.

Keďže A je otvorená a x ∈ A, existuje ε > 0 také, že (x - ε, x + ε) ⊆ A.

Teraz máme dva prípady:

Prípad 1: Ak a₀ ∉ (x - ε, x + ε)
- Potom (x - ε, x + ε) ⊆ A \ {a₀}
- Teda existuje okolie bodu x celé obsiahnuté v A \ {a₀}

Prípad 2: Ak a₀ ∈ (x - ε, x + ε)
- Nech δ = min(ε, |x - a₀|/2) > 0
- Keďže x ≠ a₀, máme |x - a₀| > 0, takže δ > 0
- Pre okolie (x - δ, x + δ) platí:
- (x - δ, x + δ) ⊆ (x - ε, x + ε) ⊆ A
- |x - a₀| > 2δ, teda a₀ ∉ (x - δ, x + δ)
- Preto (x - δ, x + δ) ⊆ A \ {a₀}

V oboch prípadoch sme našli okolie bodu x celé obsiahnuté v A \ {a₀}.

Teda A \ {a₀} je otvorená množina.