Dobrý deň, Silvia!
Vrchná časť tej plochy je zrejme 1/2-kruh, tam nevidím problém (dosadenie do vzorca...), tá spodná časť je ASI funkcia y = ln|x|- keďže nevidím, aké čísla tam sú, nie som si istý.
Keďže sa jedná o "nekonečný" kornútok, tak predpokladám, že to nie je zdola ohraničené.
Celá plocha je symetrická podľa osi y - stačí nám teda vyrátať plochu pre x>0 a vynásobiť 2.

Dostávame:

S = 2*(1/4*πr² - ∫ ln(x) dx (v hraniciach od 0 po 1))

1/4*πr² ==> polovica z polkruhu je štvrťkruh
- ∫ ln(x) dx: mínus preto, lebo pod osou x sa nám pri integrovaní "javí" plocha
ako záporná; musíme teda "zrušiť" tú zápornosť plochy týmto ďalším mínusom)
hranice integrálu: od 0 po 1 - predpokladám, že graf "kornútku" pretína os x v bode x = 1

Potom dostávame:

S = 2*[1/4 *πr² - ∫ ln(x) dx]

∫1* ln(x) dx = |ideme na per partes, preto lnx píšem ako 1*lnx| = |1 = u'; u = x; v = lnx; v' = 1/x| = x * lnx - ∫(x * 1/x)dx = x * lnx - ∫dx = x*lnx - x (+c nepíšem, lebo máme určitý integrál v hraniciach 0 až 1) = 1*ln1-1-(0*"ln0"-0) = 1*0-1-(0-0) = -1
Pozn.: lim x*lnx, kde x→0 = 0 - pozri http://www.wolframalpha.com/input/?i=x*lnx

Teda:

S = 2*[1/4 *π*1² - (-1)]
S = 2*(1/4 *π + 1)
S = π/2+2

Toto platí v prípade, že:
a.) tá červená plocha ide až k nule ("dno" konverguje do -∞)
b.) správne som odhadol funkcie, ktoré ohraničujú tú našu plochu

- horná funkcia je y = sqrt(1-x^2)
- dolná funkcia y= ln(x)
- hranice od 0 po 1
- a ostatné poráta wolfram alebo MAW
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(sqrt(1-x%5E2)-ln(x))+dx+from+x%3D0+to+1

Ale MAW nezvláda 0 ako hranicu. Ak dáš 0,001, ukáže ti postup výpočtu
http://um.mendelu.cz/maw-html/index.php?lang=cs&form=geom