Kvadratická rovnica je každá rovnica, ktorá sa dá upraviť do tvaru ax^2+bx+c=0, kde a,b,c sú reálne čísla, a navyše a≠0. Člen ax^2 nazývame kvadratický člen, člen bx nazývame lineárny člen, a c nazývame absolútny člen.
Vo všeobecnosti platí, že každá kvadratická rovnica je riešiteľná pomocou tohto vzťahu

x1= (-b+D^1/2)/2a (druhá odmocnina z D)
x2= (-b-D^1/2)/2a (druhá odmocnina z D)

Kde D je diskriminant a platí, že D = b^2-4ac

Na základe hodnoty diskriminantu vieme určiť či má kvadratická rovnica riešenie. Pokiaľ hľadáme riešenie v množine Reálnych čísliel potom platia nasledovné tvrdenia:
1. ak D = 0, potom kvadratická rovnica má práve jedno riešenie (tzv. dvojnásobný koreň)
2. ak D> 0, potom kvadratická rovnica má dve rôzne riešenia
3. ak D<0, potom kvadratická rovnica nemám riešenie (lebo v Reálnych číslach odmocnina zo záporného čísla nie ej definovaná).

Samozrejme je kopu príkladov, kedy nie je potrebné použiť diskriminant a veci s tým suvisiace.
Takže ak lineárny člen b=0, a≠0, c≠0 potom riešenie nájdeme nasledovne:
ax^2+c=0 /-c
ax^2=-c / : a
x^2= -c/a / ^1/2 (druhá odmocnina)
|x|= (-c/a)^1/2 (druhá odmocnina z výrazu -c/a)

V tejto situácii môžu nastať 2 možnosti pokiaľ je výraz -c/a záporný potom daná rovnica nemám riešenie (v R číslach) ak je výraz -c/a nezáporný (kladný alebo 0) potom má rovnica riešenie.

Konkrétny príklad
x^2-1=0
x^2=1
|x|=1^1/2 (druhá odmocnina z 1)
|x| = 1 (absolútna hodnota z x)
Teda riešenia takejto rovnice sú +1 a -1.

iný príklad
2x^2+1=0
2x^2=-1
x^2=-1/2
|x|=(-1/2)^1/2 (druhá odmocnina z -1/2) - (čo nemá v R číslach riešenie)

potom by sa nám ešte mohlo stať, že b=0, a≠0, c = 0.
teda:
ax^2=0 /:a
x^2=0 /a
x^2=0 /^1/2 (druhá odmocnina)
|x| = 0^1/2
|x| = 0
x=0

konkrétny príklad
-4x^2=0 /:(-4)
x^2 = 0
x = 0
Riešenie je 0.

Ďalší prípad môže byť ak b≠0, a≠0, c = 0 potom
ax^2+bx=0 (výmeme x pred zátvorku)
x.(ax+b)=0 (súčin sa rovná 0 keď sa sa aspoň jeden činiteľ rovná 0 )
teda x = 0 alebo ax+b = 0
ax+b=0 /-b
ax=- b /:a
x= -b/a

konkrétny príklad
4x^2+8x = 0
x(4x+8)=0
riešenia sú x=0 alebo x=2

Posledný prípad, ktorý môže nastať b≠0, a≠0, c ≠ 0
vtedy ako som hovoril použijem výpočet pomocou diskriminantu. (niekdy to ide aj inak tak povediac uhádnutím, ale tento postup funguje univerzálne)
Konkrétne :
x^2+5x-6=0
a = 1
b = 5
c = -6

D=b^2-4ac
D=5^2-4(-6)
D=25+24
D=49
D > 0 preto kvadratická rovnica bude mať 2 riešenia
x1 =( -b +D^1/2)/2a
x1 = (-5+49^1/2)/2.1 (druhá odmocnina z 49)
x1 = (-5+7)/2
x1=2/2
x1=1

x2 =( -b -D^1/2)/2a
x2 = (-5-49^1/2)/2.1 (druhá odmocnina z 49)
x2 = (-5-7)/2
x2=-12/2
x2=-6

Príklad kedy kvadratická rovnica nemá riešenie
2x^2+5+4=0
a=2
b=5
c=4
D=b^2-4ac
D=25-4.2.4
D=25-32
D=-7
Diskriminant je záporný a preto daná kvadratická rovnica v množine Reálnych čísliel nemá riešenie.

Lenka, dodatočne ma napadlo ukázať Ti ako mala vyzerať časť o riešení príkladu na tej webstránke ktorú so Ti odporúčal (oprava grafu a zlomku). Najskôr si ukážeme príklad riešený grafickou metódou: x2 – x - 2 = 0


Zostrojíme graf príslušnej kvadratickej funkcie a z neho nájdeme hodnoty premennej x, v ktorých nadobúda hodnotu 0.


x -4 -3 -2 -1 0 1/2 1 2 3 4 5
f(x) 18 10 4 0 -2 -2,75 -2 0 4 10 18

Pozn.: Tu som prehodil stĺpce tak aby išli od najmenších záporných ku kladným a dodal som tam hodnotu minima (x=1/2) a x=5, čo má rovnakú f(x) ako x=-4

Z grafu je zrejmé, že naša funkcia nadobúda nulové hodnoty pre x1 = -1, x2 = 2

Druhý spôsob, ako sa dopracovať ku koreňom kvadratickej rovnice, ktoré označujeme x1, x2 je výpočtom.

Zavedieme nový pojem: D = b2 – 4.a.c

Tento výraz D nazývame diskriminant kvadratickej rovnice.

Pre korene x1, x2 platí vzťah:

-b ± √D
x1,2 = ––––––––
2.a
Pozn.: nie som si istý, či sa hodnoty čitateľa a menovateľa zobrazia nad a pod čiarou, lebo pri kopírovaní mi to tiež skočilo na začiatok riadku, Uvidíme, po uložení.

je niekoľko metód, odkiaľ si?