Z C.

matematika

Nájdite chybu v nasledujúcom „dôkaze“ matematickou indukciou.

Nájdite chybu v nasledujúcom „dôkaze“ matematickou indukciou.

V(n) : Ak v skupine n dievčat existuje aspoň jedno dievča s modrými očami, tak všetky dievčatá v skupine majú modré oči.

„Dôkaz.“ Pre n = 1 je zrejme výrok V(1) pravdivý.

Ukážeme, že ak je pravdivý výrok V(k) tak je pravdivý aj výrok V(k+1), pre ľubovoľne zvolené prirodzené číslo k.

Aby sme dokázali, že aj V(k+1) je pravdivý výrok, uvažujme o skupine k+1 dievčat D1, D2, ..., Dk, Dk+1 z ktorých aspoň jedno má modré oči, povedzme že je to dievča D1. Potom v skupine k dievčat

D1, D2, ..., Dk

dievča D1 má modré oči a podľa indukčného predpokladu všetkých k dievčat v tejto skupine má modré oči, čo symbolicky zapíšeme ako rovnosti

D1 = D2 = ... = Dk . (1)

Podobne nahliadneme, že v skupine k dievčat

D1, D2, ..., Dk-1, Dk+1

kde D1 má modré oči všetky dievčatá majú modré oči, čo môžeme opäť symbolicky zapísať ako rovnosti

D1 = D2 = ... = Dk-1 = Dk+1. (2)

Z rovností (1) a (2) máme, že

D1 = D2 = ... = Dk-1 = Dk = Dk+1

čo ale znamená, že všetkých k+1 dievčat má modré oči, teda je dokázaná platnosť tvrdenia V(k+1).