Kombinatorika vysvetlenie 7. Rocnik

Mozme pekne poprosit o vysvetlenie priklady 1-4 ? dakujem pekne

Prílohy:
Question image
3 odpovede
Dobrý deň,
posielam riešenie. V otázke 4 chlapec odčítal 11, pretože toto číslo predstavuje možnosti, v ktorých by boli všetci zostávajúci jedenásti chlapci a chýbajúca spolužiačka.
Prílohy:
Answer image
Najprv si ukážeme, koľko je možností výberu dvojíc chlapcov a dvojíc chlapca s dievčaťom, ktorí majú niesť minerálky.
Chlapcov je 12. Označme si ich A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L: Dvojice môžeme vytvoriť takto:
A-B, B-C, C-D, D-E, E-F, F-G, G-H, H-I, I-J, J-K, K-L - toto je 11 možností
A-C, B-D, C-E, D-F, E-G, F-H, G-I, H-J, I-K, J-L - toto je 10 možností
A-D, B-E, C-F, D-G, E-H, F-I, G-J, H-K, K-L - toto je 9 možností
A-E, B-F, C-G, D-H, E-I, F-J, G-K, H-L - toto je 8 možností
A-F, B-G, C-H, D-I, E-J, F-K, G-L - toto je 7 možností
A-G, B-H, C-I, D-J, E-K, F-L - toto je 6 možností
A-H, B-I, C-J, D-K, E-L - toto je 5 možností
A-I, B-J, C-K, D-L - toto sú 4 možnosti
A-J, B-K, C-L - toto sú 3 možnosti
A-K, B-L - toto sú 2 možnosti
A-L - toto je 1 možnosť
Celkový počet možností, ktorými môžeme vybrať z 12 chlapcov dvojicu, je 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 66.
Dievčat je 16. Máme 16 možností, ako vybrať zo 16 dievčat 1 dievča. Ku každému jedného chlapcovi z 12 chlapcov môžeme priradiť jedno zo 16 dievčat. Takto môže vzniknú celkom 12.16 = 192 párov chlapca s dievčaťom.
Celkový počet možností výberu dvojice sa skladá z počtu chlapčenských dvojíc a z počtu párov chlapec - dievča. To dáva dohromady 66 + 192 = 258 možností.
Ak bude o 1 chlapca menej a dievčatá budú všetky, bude počet možností
10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 11.16 = 55 + 176 = 231
Ak bude chýbať 1 chlapec a aj 1 dievča, bude počet možností
10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 11.15 = 55 + 165 = 220


Skuste si problem zjednodusit. Predstavte si, ze v triede su len 4 chlapci (Boys): B1, B2, B3, B4. Kolko roznych dvojic z nich dokazete urobit?
B1+B2; B1+B3; B1+B4
B2+B3; B2+B4 (dvojica B2+B1 uz bola vytvorena vyssie)
B3+B4 (dvojice B3+B1 a B3+B2 uz boli vytvorene vyssie)
Cize ak su v triede 4 chlapci, pocet vsetkych moznych dvojich chlapcov je 3+2+1=6
Analogicky ak je v triede 12 chlapcov, potom pocet vsetkych moznych dvojic je 11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=66

Ku 4 chlapcom (Boys) v triede, pridajme 3 dievcata (Girls): G1, G2, G3. Budeme vytvarat vsetky mozne rozne dvojice v ktorych bude chlapec + dievca:
B1+G1; B1+G2; B1+G3
B2+G1; B2+G2; B2+G3
B3+G1; B3+G2; B3+G3
B4+G1; B4+G2; B4+G3
Vidime, ze pocet moznych roznych dvojic je 4*3=12 ('pocet chlapcov' * 'pocet dievcat'). Analogicky pri 12 chlapcoch a 16 dievcatach v triede bude pocet moznych dvojich B+G 12*16=192.
Spolu potom vsetkych moznych dvojic dvoch chlapcov (B+B) a dvojich chlapec+dievca (B+G) je: 66+192=258.

Ak teda jeden chlapec v triede chyba, rovnakym postupom ako je uvedene vyssie sa da vypocitat pocet moznych dvojic:
10+9+8+7+6+5+4+3+2+1+ 11*16 = 231

1 a 2) Rovnako spravna je ale aj Milanova uvaha ze chybajuci chlapec by tvoril par so zvysnymi 11 chlapcami a so 16 dievcatami, co je dohromady 27 parov. To je pocet parov ktore sa nevytvoria ak jeden chlapec chyba. Cize spravne je aj riesenie 258-27 = 231

3 a 4) Kazde dievca moze tvorit par s 11 chlapcami (ked jeden chlapec chyba, v triede ostalo 11 chlapcov) . Cize ak by jedno dievca chybalo, chybalo by este 11 moznych parov oproti vysledku ked chyba len jeden chlapec, takze preto Milan odpocital uz len 11 a teda riesenie 231-11 = 220 je spravne.