Author's photo
Katarína D.
matematika

Dôkazy

Ahojte, chcela by som sa opýtať ako vyrátať tento dôkaz. Ďakujem pekne

Prílohy:
Question image
2 odpovede
Ahoj, Katarína!

Neviem, na akej úrovni ten dôkaz potrebuješ; urobme si jeden primitívny, kde toto neplatí...

Ak berieme do úvahy, že a_i sú ľub. reálne čísla, tak skúsme nájsť (aspoň) 1 prípad, kedy toto neplatí.
Podarí sa?
a_1 = -1; a_2 = -1; a_3 = 8; teda n = 3
Potom: M = (-1 + 2 . (-1) + 3 . 8) / 3 = 21 / 3 = 7
Podľa zadania má pre 3. člen platiť:
a_3 ≤ 7 / 3
čiže:
8 ≤ 7/3 ... toto je však nepravda.
Na tomto príklade sme teda dokázali, že daný predpoklad nie je pravdivý pre ľubovoľné a_i z množiny reálnych čísel...
Komentáre:
Miroslav J.
Ak by toto malo platiť aspoň pre jedno i, tak riešenie aj postup by boli celkom iné...
Jozef K.
Ešte upozorním, že kolega si zvolil za ai rôzne čísla, čo podlľa tohoto zadania je správne a našiel jedno i, pre ktoré ukázal, že to platí, ale vôbec si nemyslím, že skutočne nám Katarína dala celé znenie úlohy, resp. že členy ai nie sú členmi nejakej postupnosti... atď.. To by bolo veľmi jednoduché dokazovanie... Preto ako som uviedol, celý príklad riadne nafotiť a nič nezamlčať, čo bolo povedané.. t.j. aké sú ai čísla (z poľa reálnych čísel) a sú to čísla nejakej postupnosti? akej ...
Ďakujem za úsilie kolegu.
Nie som žiadny "macher", ale mám pocit, že toto sú úlohy, ktoré patria k vysokoškolskému učivu, aj keď v posledných rokoch je úsilie posúvať vysokoškolské učivo do SŠ, ba aj ZŠ.
Je skutočne pravdou, že ak nájdeme, čo i jeden protipríklad, tak tvrdenie neplatí. Skutočnosť je, že otázka znie, "nájsť aspoň jedno číslo... , keď to platí".
Ako vieme dôkazy sa robia priamo, nepriamo, sporom, matematickou indukciou (ak si dobre pamätám) a vôbec to nie je jednoduché, lebo neexistuje správny predpis, kedy a ktorú metódu použiť... môže sa stať, že použijete metódu a všetko sa javí, že je to pravda, potom príde skutočný "macher" - vysokoškolský učiteľ, ktorý sa týmto zaoberá dlhší čas a nájde jeden protipríklad a záver je "bol použitý nesprávny spôsob dokazovania"... (inými slovami bolo potrebné použiť iný spôsob...)
Osobne si myslím, že by nám to študentka Katarína mohla uľahčiť: 1. nafotiť príklad konkrétne odkiaľ ho má, či na niečo nezabudla, lebo nevidím z akej množiny sú "ai" čísla (môžem len predpokladať, že reálne) 2. k akej problematike sa učivo viaže, ak je to dokazovanie matematickou indukciou, tak by sme z toho mohli byť von (to len intuitívne si myslím, že by sa hádam dalo) 3. ak je úloha k postupnostiam a limitám, tak bude treba vypočítať limitu postupnosti lim M a lim M/i a skúsiť porovnať....
Takže záverom poprosím Katarínu odkiaľ má príklad a či na niečo nezabudla a samozrejme dôkazové úlohy sú zvyčajne za oveľa vyššiu sadzbu...