Používa sa tam komplexný formalizmus pre harmonické priebehy.
----
u1(t), u2(t) a u3(t) sú harmonické priebehy (s rovnakou frekvenciou), ktoré teda v čase menia svoju veľkosť: cos(omega*t+phi0).
Pri použití komplexného formalizmu sa tieto považujú za reálne časti komplexných čísel (ktoré sú v rovine akoby "vektory") "rotujúcich" uhlovou rýchlosťou omega, ktorých veľkosť (absolútna hodnota, "dĺžka" v komplexnej rovine) sa ale v čase nemení: e^(i*omega*t)+c), kde c=i*phi0+ln(U), čo sa dá upraviť: e^ln(U)*e^(i*phi0)*e^(i*omega*t), kde omega, t, phi0 a U sú reálne čísla a i je imaginárna jednotka.
Pôvodné hodnoty veličín sú potom reálne časti týchto rozšírených/komplexných veličín.
Vieme, že pre reálne x platí: e^(i*x) = cos(x) + i*sin(x).
Násobenie takým číslom v komplexnej rovine "otáča" o uhol x proti smeru hodinových ručičiek.
e^(i*omega*t) = cos(omega*t) + i*sin(omega*t) je "jednotkový vektor" rotujúci v komplexnej rovine proti smeru hodinových ručičiek uhlovou rýchlosťou omega.
Tento sa dá zo všetkých členov rovníc obvodov (pre jednotnú frekvenciu) vyňať (nikdy nie je nulový - má jednotkovú veľkosť) a ostanú iba komplexné konštanty, na ktoré sa pýtate.
Tie veľkosťou (absolútnou hodnotou komplexného čísla, "dĺžkou vektora") zodpovedajú príslušným amplitúdam a argumentami (exponenciálneho tvaru komplexného čísla) zodpovedajú príslušným fázovým posunom.
Čiže pracuje sa potom s komplexnými hodnotami prúdov a napätí a ďalšou výhodou je, že tento prístup umožňuje počítať okrem rezistorov rovnakým spôsobom aj s indukčnosťami a kapacitami (hoci tie posúvajú fázu)... tu sa im spolu hovorí impedancie.
Komplexný formalizmus totiž umožňuje vyjadriť aj posun fázy (tu zodpovedajúci integrácii či derivácii harmonického priebehu) násobením.
----
Pri komplexnom formalizme sa imaginárna jednotka označuje j namiesto i, lebo písmenom i sa v elektrotechnike tradične označuje prúd.
----
U2m = sqrt(2) * 100 * e^(j*(-45 * 2*Pi/180)) = 100 * sqrt(2) * e^(-j*Pi/4) = 100 * sqrt(2) * (cos(-Pi/4) + j*sin(-Pi/4)) = 100*sqrt(2)*( sqrt(2)/2 - j*sqrt(2)/2 ) = 100 - j*100
----
Výsledok určený komplexným formalizmom sa potom interpretuje - znova sa uvažuje rotácia v čase e^(j*omega*t) a berie sa reálna časť priebehov.
Tu sa na spočítanie komplexných čísel použil jeho zložkový tvar a na interpretáciu jeho exponenciálny tvar (veľkosť a "uhol").
Čiže z komplexného výsledku v tvare 177.537 * e^j*(9.697 * Pi/180) * e^(j*omega*t) = 177.537 * e^(j*(omega*t + 9.697 * Pi/180)) = 177.537 * cos(omega*t + 9.697 * Pi/180) + j*177.537 * sin(omega*t + 9.697 * Pi/180) sa zobrala iba jeho reálna časť:
177.537 * cos(omega*t + 9.697 * Pi/180)