Obidva príklady sú na separáciu premenných.
Aby sa dala spraviť (mať premenné na rôznych stranách rovnice), treba mať ako argumenty funkcií výrazy obsahujúce iba jednu z premenných, čiže nutne treba v oboch príkladoch urobiť substitúciu u = (y/x)... (z toho aj: y=x*u a y'=x*u'+u).
----
1. rovnica: po substitúcii dostávame:
x*u' + u = u*ln(u) -> u'/(u*(ln(u)-1)) = 1/x,
čo už je separovaný tvar.
Po integrácii ľavej strany (substitúciou v=ln(u)-1, v'=u'/u, u=exp(v+1)) dostávame:
v'/v = 1/x,
z čoho integráciou:
v(x) = K*x (K>0, lebo K=exp(C)),
z čoho spätným dosadením:
u(x) = exp(K*x+1)
a
y(x) = x*exp(K*x+1).
----
2. rovnica: po substitúcii a malej úprave (u-u -> 0) dostávame:
x*u' * arctg(u) = 1,
z čoho máme separovaný tvar:
u' * arctg(u) = 1/x.
Integrácia arctg(u) sa dá urobiť pomocou per-partes
(prvá funkcia je arctg(u), druhá derivovaná je 1),
čím sa dostane:
u * arctg(u) - (1/2)*ln(1+u^2) = C + ln(x).