Toto je známe tvrdenie často využívané v geometrii na matematickej olympiáde. Na Slovensku a Česku sa tento bod v olympiáde vyskytuje často a je to takzvaný "Švrčkov bod".

Pri dokazovaní budeme využívať len základné vlastnosti tetivových štvoruholníkov. Ak P je priesečník osi uhla ABC a kružnice opísanej trojuholníku ABC, tak stačí dokázať, že cez P prechádza aj os strany AC.

Vieme, že

uhol ACP = uhol ABP = uhol PBC = uhol PAC.

(Prvá rovnosť vyplýva z vlastností tetivových štvoruholníkov, teda štvoruholníkov, ktorých vrcholy ležia na kružnici. Druhá rovnosť vyplýva z toho, že AP je podľa definície osou uhla ABC. Tretia rovnosť opäť vyplýva z vlastností tetivových štvoruholníkov.)

Uhly ACP, PAC sú preto zhodné, takže trojuholník APC je rovnoramenný so základňou AC. To však znamená, že os jeho základne, teda strany AC, prechádza protiľahlým vrcholom, teda bodom P. Z toho už vyplýva, že os strany AC tiež prechádza bodom P, čo sme chceli dokázať.