a) Vzdialenosť bodu FF od priamky BHBH

Predpokladám, že A,B,C,D,E,F,G,HA,B,C,D,E,F,G,H sú vrcholy kocky, kde A,B,C,DA,B,C,D sú na jednej stene a E,F,G,HE,F,G,H sú na opačnej stene. Označíme kocku ako:

A=(0,0,0)A=(0,0,0)
B=(4,0,0)B=(4,0,0)
C=(4,4,0)C=(4,4,0)
D=(0,4,0)D=(0,4,0)
E=(0,0,4)E=(0,0,4)
F=(4,0,4)F=(4,0,4)
G=(4,4,4)G=(4,4,4)
H=(0,4,4)H=(0,4,4)

Priamka BHBH prechádza bodmi B=(4,0,0)B=(4,0,0) a H=(0,4,4)H=(0,4,4).

Smerový vektor priamky BHBH je:
BH⃗=H−B=(0,4,4)−(4,0,0)=(−4,4,4).
BH
=H−B=(0,4,4)−(4,0,0)=(−4,4,4).

Bod FF má súradnice F=(4,0,4)F=(4,0,4).

Vzdialenosť bodu FF od priamky BHBH sa vypočíta ako vzdialenosť bodu od priamky v priestore:
d=∣BF⃗⋅(BH⃗×v⃗)∣∣BH⃗∣,
d=∣BH
∣∣BF
⋅(BH
×v
)∣​,

kde BF⃗=F−B=(4,0,4)−(4,0,0)=(0,0,4)BF

=F−B=(4,0,4)−(4,0,0)=(0,0,4).

Najskôr nájdeme BH⃗×v⃗BH
×v
, kde v⃗v
je akýkoľvek vektor kolmý na BH⃗BH
. Najjednoduchší spôsob je použiť priamo BF⃗BF

:
BH⃗×BF⃗=∣i⃗j⃗k⃗−444004∣=(4⋅4−4⋅0)i⃗−(−4⋅4−4⋅0)j⃗+(−4⋅0−4⋅0)k⃗=(16i⃗+16j⃗).
BH
×BF
=∣
∣​i
−40​j
​40​k
44​∣
∣​=(4⋅4−4⋅0)i
−(−4⋅4−4⋅0)j
​+(−4⋅0−4⋅0)k
=(16i
+16j
​).

Teda BH⃗×BF⃗=(16,16,0)BH
×BF

=(16,16,0).

Nájdeme veľkosť vektora BH⃗×BF⃗BH
×BF

:
∣BH⃗×BF⃗∣=162+162+02=256+256=512=162.
∣BH
×BF
∣=162+162+02
​=256+256
​=512
​=162
​.

Teraz nájdeme veľkosť vektora BH⃗BH

:
∣BH⃗∣=(−4)2+42+42=16+16+16=48=43.
∣BH
∣=(−4)2+42+42
​=16+16+16
​=48
​=43
​.

Vzdialenosť bodu FF od priamky BHBH je:
d=∣BF⃗⋅(BH⃗×v⃗)∣∣BH⃗∣=16243=16243=423=423=463.
d=∣BH
∣∣BF
⋅(BH
×v
)∣​=43
​162
​​=43
​162
​​=3
​42
​​=432​
​=346
​​.
b) Vzdialenosť bodu FF od roviny BEGBEG

Rovina BEGBEG prechádza bodmi B=(4,0,0)B=(4,0,0), E=(0,0,4)E=(0,0,4) a G=(4,4,4)G=(4,4,4).

Najprv nájdeme normálový vektor roviny BEGBEG. Vezmeme vektory BE⃗=E−B=(−4,0,4)BE
=E−B=(−4,0,4) a BG⃗=G−B=(0,4,4)BG

=G−B=(0,4,4).

Normálový vektor je krížový súčin BE⃗×BG⃗BE
×BG

:
n⃗=BE⃗×BG⃗=∣i⃗j⃗k⃗−404044∣=(0−16)i⃗−(0−16)j⃗+(−16−0)k⃗=(−16,16,−16).
n
=BE
×BG
=∣
∣​i
−40​j
​04​k
44​∣
∣​=(0−16)i
−(0−16)j
​+(−16−0)k
=(−16,16,−16).

Rovnica roviny má tvar −16x+16y−16z=D−16x+16y−16z=D. Dosadíme bod B=(4,0,0)B=(4,0,0):
−16⋅4+16⋅0−16⋅0=D  ⟹  D=−64.
−16⋅4+16⋅0−16⋅0=D⟹D=−64.

Rovnica roviny je teda −16x+16y−16z+64=0−16x+16y−16z+64=0, čo môžeme upraviť na:
x−y+z=4.
x−y+z=4.

Vzdialenosť bodu F=(4,0,4)F=(4,0,4) od tejto roviny je:
d=∣4−0+4−4∣12+(−1)2+12=∣4∣3=43=433.
d=12+(−1)2+12
​∣4−0+4−4∣​=3
​∣4∣​=3
​4​=343
​​.
c) Uhol medzi priamkami AGAG a CDCD

Priamka AGAG prechádza bodmi A=(0,0,0)A=(0,0,0) a G=(4,4,4)G=(4,4,4).

Smerový vektor AG⃗=(4,4,4)AG

=(4,4,4).

Priamka CDCD prechádza bodmi C=(4,4,0)C=(4,4,0) a D=(0,4,0)D=(0,4,0).

Smerový vektor CD⃗=(0−4,4−4,0−0)=(−4,0,0)CD

=(0−4,4−4,0−0)=(−4,0,0).

Uhol medzi priamkami určíme pomocou skalárneho súčinu:
cos⁡θ=AG⃗⋅CD⃗∣AG⃗∣∣CD⃗∣.
cosθ=∣AG
∣∣CD
∣AG
⋅CD
​.

Skalárny súčin:
AG⃗⋅CD⃗=(4,4,4)⋅(−4,0,0)=4\cd
AG
⋅CD
=(4,4,4)⋅(−4,0,0)=4