Máme priamku pp danú parametrickými rovnicami:
x=1−t,
x=1−t,
y=2+2t,
y=2+2t,
z=4+3t,
z=4+3t,

kde t∈Rt∈R.

A máme rovinu určenú rovnicou:
2x+3y−z−6=0.
2x+3y−z−6=0.
1. Normálový vektor roviny

Normálový vektor roviny je vektor kolmý na rovinu a jeho koeficienty sú koeficienty xx, yy a zz v rovnici roviny. Pre našu rovinu je normálový vektor:
n⃗=(2,3,−1).
n
=(2,3,−1).
2. Vektor smeru priamky

Vektor smeru priamky pp je vektor tvorený koeficientmi pri tt v parametrických rovniciach priamky:
v⃗=(−1,2,3).
v
=(−1,2,3).
3. Skontrolovať, či je priamka kolmá na rovinu

Priamka je kolmá na rovinu, ak skalárny súčin smerového vektora priamky a normálového vektora roviny je nulový. Vypočítame skalárny súčin:
v⃗⋅n⃗=(−1)⋅2+2⋅3+3⋅(−1)=−2+6−3=1.
v
⋅n
=(−1)⋅2+2⋅3+3⋅(−1)=−2+6−3=1.

Keďže skalárny súčin nie je nulový, priamka nie je kolmá na rovinu.
4. Nájsť priemet priamky do roviny

Pre priemet potrebujeme nájsť bod na priamke, ktorý sa premieta do roviny kolmo. Na tento účel musíme nájsť kolmicu na rovinu, ktorá prechádza bodom na priamke. Použijeme bod na priamke (napríklad pre t=0t=0):
A=(1,2,4).
A=(1,2,4).
5. Rovnica kolmice

Rovnica kolmice prechádzajúcej bodom AA a smerujúcej v smere normálového vektora roviny je:
x=1+2s,
x=1+2s,
y=2+3s,
y=2+3s,
z=4−s,
z=4−s,

kde s∈Rs∈R.
6. Nájsť priesečník kolmice s rovinou

Priesečník nájdeme dosadením parametrov kolmice do rovnice roviny:
2(1+2s)+3(2+3s)−(4−s)−6=0.
2(1+2s)+3(2+3s)−(4−s)−6=0.

Rovnicu upravíme:
2+4s+6+9s−4+s−6=0,
2+4s+6+9s−4+s−6=0,
14s−2=0,
14s−2=0,
14s=2,
14s=2,
s=17.
s=71​.
7. Priesečník kolmice s rovinou

Dosadíme s=17s=71​ do parametrických rovníc kolmice:
x=1+2⋅17=1+27=97,
x=1+2⋅71​=1+72​=79​,
y=2+3⋅17=2+37=177,
y=2+3⋅71​=2+73​=717​,
z=4−17=4−17=277.
z=4−71​=4−71​=727​.
8. Kolmý priemet

Kolmý priemet priamky pp do roviny je priamka, ktorá prechádza bodom (97,177,277)(79​,717​,727​) a má rovnaký smerový vektor ako pôvodná priamka:
x=97−t,
x=79​−t,
y=177+2t,
y=717​+2t,
z=277+3t,
z=727​+3t,

kde t∈Rt∈R.

To je rovnice kolmého priemetu priamky pp do roviny 2x+3y−z−6=02x+3y−z−6=0.

Myslel som, že sa len v drobnostiach líšim od druhého Petra, ale nakoniec si nie som istý.