Chcem trocha upresniť dôkaz sporom: Máme dokázať tvrdenie, ktoré označíme ako P: Pre každé celé n platí, že ak 3 | n×n, potom 3 | n. Dôkaz urobíme tak, že ukážeme, že neplatí negácia tvrdenia P, čo je takéto tvrdenie: Existuje prirodzené číslo m také, že 3 | m×m a zároveň 3 nedelí m. Ukážeme, že tieto dva předpoklady o m sú v rozpore.
Ak 3 nie je deliteľom m, potom m musí mať tvar 3k+1 alebo 3k+2 (pri delení m troma môžeme dostať zvyšok 1 alebo 2, iné možnosti nie sú), kde k je nejaké celé číslo. Lenže potom m×m bude mať tvar (3k+1)^2 =9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2+2k) +1, resp. (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k"2 +4k+1)+1. Teda v oboch prípadoch má m^2 tvar 3×(celé číslo) + 1 a nie je deliteľné troma. Vidíme, že negácia tvrdenia P nemôže platiť a teda musí platiť pôvodné tvrdenie P.

Predpokladám, že autor otázky mal na mysli tvrdenie:
Pre každé prirodzené číslo n platí, že ak 3 delí n², potom 3 delí n.

Symbolika:
3 delí n² sa zapisuje 3 | n²
3 delí n sa zapisuje 3 | n
implikácia =>
Implikácia je zložený výrok: Ak platí niečo, potom platí niečo iné. V našom prípade
3 | n² => 3 | n

Priamy dôkaz:
Ak prvočíslo delí súčin dvoch čísel, musí deliť jedno z týchto dvoch čísel.
V našom prípade, ak prvočíslo 3 delí súčin n * n, tak 3 musí deliť buď prvé n alebo druhé n. V oboch prípadoch to vedie k záveru, že 3 delí n.

Iný možný dôkaz - dôkaz sporom:
Predstavme si, že by existovalo prirodzené číslo n, pre ktoré by platilo, že 3 delí n² a zároveň 3 nedelí n.
Keď si všimneme časť "3 nedelí n", tak z toho vyplýva, 3 nebude deliť ani súčin n*n, čiže 3 nedelí n². To vedie k sporu.
Naša predstava teda nie je pravdivá a musí teda platiť presný opak (negácia našej predstavy). To znamená, že pravda je, že "Pre každé prirodzené číslo n platí, že ak 3 delí n², potom 3 delí n." A to je presne to, čo sme mali dokázať.

Oba dôkazy sú správne, je jedno, ktorý z nich použijete.

Dobrý deň prajem. Pre dokázanie tohto výrazu je potrebné si uvedomiť, že táto nerovnosť neplatí pre každé n (keďže tam máme väčšie alebo rovné). Ak by bolo n kladné, nerovnosť nie je Vždy pravdivá.

n je rôzne od nuly, teda zapíšeme n=/0 (n sa nerovná 0)

Obidve strany nerovnice vynásobíme n2 (n na druhú), tým dostaneme nerovnicu v tvare 3 >= 3n, kde n=/0

Môžeme obe strany deliť 3, tým dostaneme 1>=n
Vymeníme ľavú a pravú stranu a obrátime znamienko n<=1, pričom n=/0

Táto nerovnosť nám ukazuje, že platí v prípade, ak n je <= jednej.

Môžeme nájsť prienik riešenia a definičného oboru.
kde n patrí do intervalu (-"nekonečno"; 0) U - zjednotenie (0; 1>
- pri 1 uzatvorený interval

Dúfam, že som pomohol, v prípade akýchkoľvek otázok ma neváhajte kontaktovať.

Nie, pre každé n to neplatí! Napríklad, pre n = 3.
M. Pavluš.