Ahoj,
pre vyjadrenie si funkcie potrebuješ najprv "zrušiť" vonkajšiu funkciu na ľavej strane - to vieš docieliť ekvivalentnou úpravou tak, že na ňu aplikuješ inverznú funkciu - pozor však na to, že sa ti zrušia funkcie aj na druhej strane!

Dostaneš tak tvar:

x - y + f(y) = x + y

a pomocou ďalších úprav získaš svoju funkciu:

f(y) = 2y, resp. f(x) = 2x

Ak sa nemýlim, existuje teda len jedna funkcia f, pre ktorú platí podmienka zo zadania.
To, že to naozaj platí si vieš overiť aj pomocou skúšky správnosti, kde si zvolíš náhodné x, y, napr. x = 1, y = 2
Ľ = f(1-2+f(2)) = f (-1 + (2*2)) = f(3) = 6
P = f(1) + f(2) = 2*1 + 2*2 = 6

Platí to, aj v prípade, že si zvolíš nejaké záporné číslo, napr.: x = 1, y = -2
Ľ = f(1-(-2)+f(-2)) = f (3+ (2*(-2))) = f(-1) = -2
P = f(1) + f(-2) = 2*1 + 2*(-2) = -2

Žiaľ nemyslím si, že vyššie uvedený postup je úplne korektný, napriek tomu, že riešenie je správne.

Zjavne tam nastávajú dva značné problémy:

1. Odkiaľ vieme, že existuje inverzná funkcia f^(-1)? Čo ak pôvodná funkcia nie je bijektívna, potom nemôžeme aplikovať funkciu f^(-1).

2. Chvíľu sa tvárme, že môžeme aplikovať f^(-1) na obe strany rovnice (t.j. inverzná funkcia existuje). Teda dostávame, že
f^(-1)(f(x-y+f(y)))=f^(-1)(f(x)+f(y)) čo je to isté ako x-y+f(y)=f^(-1)(f(x)+f(y)). Avšak nemusí nutne platiť, že
f^(-1)(f(x)+f(y))=f^(-1)(f(x))+f^(-1)(f(y))=x+y (voľne povedané invertovanie nie je lineárny operátor).

Čo ak by riešením spomínanej funkcionálnej rovnice bola funkcia f(x)=e^x, vieme že f^(-1)(x)=ln(x), ale zrejme neplatí, že ln(e^x+e^y)=ln(e^x)+ln(e^y).

Teda osobne by som zvolil radšej nejaký iný postup. Teda napríklad ako býva pri takýchto funkcionálnych rovniciach zvykom nejako vhodne si navoliť x, resp. y aby sme si niečo užitočné na tej rovnici všimli. Nech y=x potom dostávame, že

f(y-y+f(y))=f(y)+f(y), teda f(f(y))=2f(y), označme f(y)=t. Ak f: Z --> Z, tak potom f(y) je zo Z, a teda aj t je zo Z, a teda funkcia je tvaru f(t)=2t (pre každé t celé číslo).

Urobme si skúšku správnosti:
Už vieme, že f(t)=2t, teda
Ľ: f(x-y+f(y))=f(x-y+2y)=f(x+y)=2(x+y)=2x+2y
P: f(x)+f(y)=2x+2y

Alternatívne riešenie je zvoliť x = y = 0.
V tomto prípade dostaneme z rovnice zo zadania: f(x-y+f(y)) = f(x) + f(y) nasledujúcu rovnicu: f(f(0)) = 2 * f(0)
f(0) je konštanta, takže stačí aby sme v predošlej rovnici nahradili 'f(0)' s 'c'.
Po dosadení sa dostaneme k riešeniu úlohy: f(c) = 2c