Anonymný autor

N priamok v rovine

Mějme v rovině n přímek. Žádné dvě nejsou rovnoběžné, tedy každá s každou se protíná. V jednom bodě se protínají nejvýše dvě přímky. Jaký je počet jejich průsečíků? Vyjádřete tento počet jako výraz závisející na počtu přímek a dokažte jej matematickou indukcí.

Prosím o pomoc s úlohou

1 odpoveď

Dávid Š. Kontaktovať

Počet bodů, ve kterých se protínají dvě přímky, bude roven binomickému koeficientu C(n, 2), kde n je počet přímek. Tuto skutečnost můžeme dokázat matematickou indukcí.

Basis (základní případ): Pro n = 2 platí, že počet bodů, ve kterých se protínají dvě přímky, je jeden.

Indukce (důkaz): Pokud platí pro n = k, že počet bodů, ve kterých se protínají dvě přímky, je C(k, 2), pak pro n = k + 1 platí, že počet bodů, ve kterých se protínají dvě přímky, bude C(k, 2) + k. Pro každou z nových přímek bude existovat k průsečíků s již existujícími přímkami a mezi novou a již existující přímkou bude jeden průsečík. Celkový počet průsečíků bude tedy C(k, 2) + k = C(k + 1, 2).

Ukázali jsme, že pro každý k platí, že počet bodů, ve kterých se protínají dvě přímky, je C(k, 2). Z toho vyplývá, že pro libovolný n platí, že počet bodů, ve kterých se protínají dvě přímky, je C(n, 2).

Komentáre:

Anonymný autor

Možné odpovede na moju úlohu sú: a. počet průsečíků je (n+1)^2 b. počet průsečíků je n^2/2-n/2 c. počet průsečíků je n*(n+1)/2 d. počet průsečíků je n(n+1)(2n+1)/6 e. počet průsečíků je (n+1)(n-1)/2

Marek S.

C(k,2) = n*(n-1)/2 = n^2/2-n/2 ... z uvedených možností je to [b]. ---- Keby ste si to chceli zistiť či overiť sami aj bez znalosti tvaru C(k,2), tak pre uvedené možnosti ide dosadiť n=1, n=2 a n=3, pričom pre tie hodnoty n má výjsť 0, 1 a 3 priesečníky. ---- Je to tiež súčet čísel 1+...+(n-1). Totiž pridaním n-tej priamky vzniklo n-1 priesečníkov - s predchádzajúcimi n-1 priamkami.

Pošli svoju otázku Pošli svoju otázku