Súčet funkcionálneho radu

Vedel by mi niekto pomôcť s postupom ako vypočítať tento rad?
Zaujímal by ma aj postup nielen výsledok

Prílohy:

1 odpoveď

Marek S. Kontaktovať

Poskytnem Vám pomôcky bez výsledku:

P1: 1/(n*(n+2)) = (1/2) * ( 1/n - 1/(n+2),
P2: x^(2*n) = t^i ; (ak t=x^2; vtedy t >= 0),
P3: pre vhodné x platí: log(1-x) = -x - x^2/2 - x^3/3 - x^4/4 - ...

Viete to už z tohto vyskladať?

Komentáre:

Marek S.

Pardón, P2: malo byť x^(2*n) = t^n

Marek S.

Aj na konci P1 mala ešte byť zátvorka...

Marek S.

A v P3 má byť ln(1-x) namiesto log(1-x)

Marek S.

Tu je postup a výsledok: sum{n=1..inf} x^(2*n)/(n*(n+2)) = sum{n=1..inf} x^(2*n) * (1/2) *(1/n - 1/(n+2)) = = (1/2)*( sum{n=1..inf} x^(2*n)/n - sum{n=1..inf} x^(2*n)/(n+2) ) = = |t=x^2 ; t >= 0|: (1/2)*( sum{n=1..inf} t^n/n - sum{n=1..inf} t^n/(n+2) ) = = |t in [-1;1)|: (1/2)*( -ln(1-t) - (1/t^2) * sum{n=1..inf} t^(n+2)/(n+2) ) = = (1/2)*( -ln(1-t) - (1/t^2) * ( -t - t^2/2 + t + t^2/2 + sum{n=1..inf} t^(n+2)/(n+2) ) ) = = (pokračovanie nižšie)

Marek S.

= (1/2)*( -ln(1-t) + (1/t^2) * (t + t^2/2) - (1/t^2) * sum{n=1..inf} t^n/n ) ) = = (1/2)*( -ln(1-t) + (1/t + 1/2) - (1/t^2) * (-ln(1-t)) ) = = 1/(2*t) + 1/4 + (1/(2*t^2) - 1/2) * ln(1-t) ) = = 1/(2*x^2) + 1/4 + (1/(2*x^4) - 1/2) * ln(1-x^2) (to je výsledok)

Marek S.

"Overenie": https://www.wolframalpha.com/input?i=taylor+series+of+1%2F%282*x%5E2%29+%2B+1%2F4+%2B+%281%2F%282*x%5E4%29+-+1%2F2%29+*+ln%281-x%5E2%29 resp. na stránke https://www.wolframalpha.com/ zadať taylor series of 1/(2*x^2) + 1/4 + (1/(2*x^4) - 1/2) * ln(1-x^2) (potom ešte prípadne pre výsledok stlačiť "More terms" ...)

Marek S.

Nedovolilo to sem vložiť celý príspevok a zmršilo to riadkovanie, ale hádam si to viete vložiť inam a preformátovať.

Pošli svoju otázku Pošli svoju otázku