Afinný priestor je základný geometrický koncept, ktorý rozširuje pojem vektorového priestoru a umožňuje opisovať geometrické objekty ako body, priamky a roviny nezávisle od konkrétneho výberu súradnicového systému. Hlavné charakteristiky afinného priestoru zahŕňajú pojmy bodov a vektorov, pričom základné operácie sú definované tak, aby boli nezávislé od voľby pôvodného bodu.
Základné pojmy

Afinný priestor:
Afinný priestor AA je množina bodov spolu s vektorovým priestorom VV a operáciou, ktorá každému bodu A∈AA∈A a vektoru v∈Vv∈V priraďuje bod B=A+vB=A+v.
Operácia musí spĺňať podmienku, že pre akékoľvek body A,B∈AA,B∈A existuje jedinečný vektor v∈Vv∈V tak, že B=A+vB=A+v.

Bod a vektor:
Body v afinnom priestore sú základné prvky, ktoré nemajú ďalšiu vnútornú štruktúru.
Vektory v príslušnom vektorovom priestore VV sa používajú na opis rozdielov medzi bodmi.

Afinné kombinácie:
Ak sú A1,A2,…,AnA1​,A2​,…,An​ body v afinnom priestore a λ1,λ2,…,λnλ1​,λ2​,…,λn​ sú skaláre také, že ∑i=1nλi=1∑i=1n​λi​=1, potom výraz λ1A1+λ2A2+⋯+λnAnλ1​A1​+λ2​A2​+⋯+λn​An​ je afinná kombinácia bodov A1,A2,…,AnA1​,A2​,…,An​.

Vlastnosti afinného priestoru

Afinný podpriestor:
Afinný podpriestor je množina bodov, ktorá sa dá vyjadriť ako A+UA+U, kde AA je bod v afinnom priestore AA a UU je podpriestor vektorového priestoru VV.

Afinná nezávislosť:
Body A1,A2,…,AkA1​,A2​,…,Ak​ sú afinne nezávislé, ak vektory A1A2→,A1A3→,…,A1Ak→A1​A2​

​,A1​A3​
​,…,A1​Ak​

​ sú lineárne nezávislé.

Dimenzia:
Dimenzia afinného priestoru AA je rovnaká ako dimenzia jeho pridruženého vektorového priestoru VV.

Aplikácie a význam

Geometria a algebra:
Afinné priestory sú kľúčové v štúdiu geometrických transformácií, ako sú translácie, rotácie a dilatácie.
Umožňujú opisovať geometrické objekty a ich vlastnosti nezávisle od voľby súradnicového systému.

Počítačová grafika:
V počítačovej grafike sa afinné priestory používajú na manipuláciu s objektmi v 2D a 3D priestore, čo je základné pre vykresľovanie, modelovanie a animácie.

Fyzika a inžinierstvo:
V týchto oblastiach sa často používajú afinné priestory na opis polohy, rýchlosti a iných vektorových veličín v priestore.

Afinné priestory poskytujú dôležitý matematický rámec na štúdium a riešenie problémov v rôznych vedeckých a technických oblastiach, umožňujúc efektívne a konzistentné manipulácie s geometrickými objektmi.