Princíp matematickej indukcie je založený na dvoch krokoch resp. overení dvoch podmienok:
- najskôr sa overí platnosť tvrdenia pre nejakú prvú (inicializačnú) hodnotu
- v druhom kroku ukážeme, že tvrdenie platí aj pre k+1 hodnotu (za predpokladu, že platí pre k-tu hodnotu)
Keďže ako k-tu hodnotu môžeme zobrať inicializačnú hodnotu pre ktorú sme tvrdenie overili explicitne, potom tvrdenie platí aj pre k+1 hodnotu a teda aj pre všetky ďalšie hodnoty.

Takže:

Nech P(k) je postupnosť 1+3+5…+(2k−1) pre ktorú treba dokázať že platí: P(k)=k^2

Tvrdenie overíme pre k=1:
P(1): 1 = 1^2 ... platí!

Tvrďme teda, že rovnica platí všeobecne pre ľubovoľnú hodnotu 'k'

čiže, ešte raz, tvrďme že P(k): 1+3+5+...+2k−1=k^2

potom, ZA PREDPOKLADU, že tvrdenie je pre hodnotu 'k' pravdivé, vyšetrime či bude platiť aj pre hodnotu 'k+1' :

1+3+5+…+(2k−1)+[2(k+1)−1] = k^2+2(k+1)−1

... po úprave pravej strany ...

1+3+5+…+(2k−1)+[2(k+1)−1] = k^2+2k+1

... ešte jedna úprava pravej strany ...

1+3+5+…+(2k−1)+[2(k+1)−1] = (k+1)^2

Vidíme teda, že AK PLATÍ, P(k) = k^2, potom platí aj P(k+1) = (k+1)^2

Tvrdenie pre P(k) sme predpokladali, avšak pre k=1 sme ho dokázali. Tým pádom sme ho ale dokázali aj pre P(k+1) t.j. pre každé ďalšie 'k', a teda pre všetky 'k' !!!

Teda všeobencne pre všetky 'n' platí: 1+3+5+…+(2n−1)=n^2