Krištof K.

kombinácie štvrostenov

Mám 12 bodov, z toho 6 v jednej rovine. Koľko štvrstenov z týchto bodov vytvorím?

2 odpovede

Dušan B. Kontaktovať

zo 6. bodov v jednej rovine vyberiem 3 body (podstava štvorstena).
Ide o kombinácie, nakoľko nezáleží na poradí výberu bodov.
6! / (3!*3!) = 20
To znamená že mám 20 rôznych podstáv v tejto rovine. Vrcholov je 6 (body mimo tejto roviny).
Takže 4-stevnov je 6*20=120

Komentáre:

Dušan B.

Pokiaľ nepredpokladám, že podstava leží v rovine so 6-timi bodmi, potom môže mať v tejto rovine 2 body, alebo 1 bod, alebo žiadny. Ak má v nej dva body, počet štvorstenov bude 6! / (2!*4!) =15 Ďalšie dva body ležia mimo tejto roviny, teda vyberám dva body zo zvyšných šiestich, tzn: 6! / (2!*4!) =15 Počet 4-stenov je teda 15*15 = 225

Dušan B.

Ak má v tejto rovine iba jeden bod, potom počet 4-stenov je 6 * 6! / (3!*3!) = 6*20=120

Dušan B.

Ak nemá v danej rovine žiadny bod, počet 4-stenov je 6! / (4!*2!) = 15

Dušan B.

Keď spočítame všetky možnosti, tak máme: 120 + 225 + 120 + 15 = 480 štvorstenov

Dušan B.

Ide to aj jednoduchšie. Treba si uvedomiť, že štvorsten je priestorové teleso, preto všetky jeho vrcholy nemôžu ležať v jednej rovine. Tieto možnosti odpočítame zo všetkých možností, ktoré existujú. [12! / (4! * 8!)] - [6! / (4! * 2!)] = 495 - 15 = 480

Anna S.

Ale mne tam chýba podmienka, že žiadne tri body neležia na jednej priamke. Ak nie je splnená, tak nemáme zaručené, že trojica bodov reprezentuje jednu stenu.

Anna S.

Ak je podmienka splnená potom je 480 správne

Kristína S. Kontaktovať

Možno je dobré pre predstavivosť ozrejmiť, že štvorsten je trojboký ihlan. Podstava je trojuholník a preto vytvárame trojice zo 6 bodov v rovine, kedy nezáleží na ich poradí. Preto ide o 3-prvkové kombinácie zo šiestich C(k,n)=C(3,6). Na kalkulačke nCr - 6C3 =20. A tieto podstavy kombinujeme so šiestimi bodmi, ktoré tvoria vrchol. Teda 6.20=120

Prílohy: