Pekný deň, ozvi sa na email tomasmikulovsky@seznam.cz poradím :)

A[ 1, 2,-1]
B[ 3,-1, 1]
C[ 1, 1, 3]
D[-1, 2, 0]
Naprv urcime rovnicu roviny ABC, potom do rovnice dosadim bod D a zistim ci do rovnice pasuje = ci lezi v rovine.

Konkretne:
Vypocitame si vektory AB a AC:
AB = [ 2,-3, 2]
AC = [0, -1, 4]
Urovbim vektorovy sucin ABxAC a tym dostanem vektor N kolmy na rovinu ABC
N = [-10, -8, -2]
Vektor je dolezity len pre urcenie smeru, jeho dlzka dolezita nie je, preto ho vydelim -2 a dostanem
N = [5, 4 , 1]
Vektor kolmy na rovinu mi pomoze pri hladani rovnice roviny. Jeho zlozky pouzijem ako koeficienty do rovnice. Rovnica roviny bude vyzerat takto:
5x + 4y + 1z + d = 0, pricom konstantu d este neviem.
Urcim ju tak ze to rovnice dosadim niektory bod, napriklad bod A, potom dostanem:
5.1 + 4.2 + 1.-1 + d = 0
Z toho dostanem d = -12
a rovnica roviny ABC bude
5x + 4y +z -12 = 0
Rad si kontrolujem co robim, preto som skusil do tejto rovnice
dosadit vsetky tri body A,B,C a zistil som ze rovnici vyhovuju,
takze rovnicu roviny mam urcenu spravne.
Teraz do rovnice roviny ABC dosadim bod D:
5.-1 + 4.2 + 1.0 - 12 nie je rovne 0, takze bod D rovnici nevyhovuje
co znamena ze nelezi v rovine ABC


Druha moznost (asi menej zrozumitelna):
Zoberieme vektory AB, AC a AD a zistime ci su linerarne nezavisle.
To zistime tak ze ich usporiadame do matice a zistime determinant tejto matice
AB = [ 2,-3, 2]
AC = [ 0,-1, 4]
AD = [-2, 0, 1]
Matica:
| 2 -3 2 |
M = | 0 -1 4 |
|-2 0 1 |
determinant tejto matice je:
D = -2 + 24 + 4 = 26
Determinant nie je 0, co znamena ze vektory su linearne nezavisle
a nemozu lezat v jednej rovine.