Zdravim, zacal by som tym, ze by som si nakreslil grafy oboch funkcii. Priamka p sa nakresli jednoducho, ked sa rovnica prepise do smernicoveho vyjadrenia y = 5 + x*1/sqrt(3), v tomto pripade sqrt znaci odmocninu. Uhol, ktory tato priamka zviera s osou x je dany prave smernicou tejto priamky, teda cislom 1/sqrt(3), konkretne plati tg(alfa) = 1/sqrt(3), kde alfa je uhol, ktory priamka p zviera s osou x. Odtial vyplyva, ze alfa = 30 stupnov. My budeme hladat take dotycnice k funkcii f(x), ktore su od priamky p odchylene o pi/6, teda o 30 stupnov. Existuju vsak dva take pripady, bud je dotycnica odchylena o 30 stupnov "nadol", teda s osou x zviera uhol 0 stupnov, alebo "nahor", teda s osou x zviera uhol 60 stupnov. Nasou ulohou teda bude najst take x1, x2, ze dotycnica k funkcii f(x) v bode x1 bude zvierat s osou x uhol 0 stupnov, a dotycnica k funkcii f(x) v bode x2 bude zvierat s osou x uhol 60 stupnov = pi/3. To je kompaktne zahrnute v podmienkach:

f´(x1) = 0
f´(x2) = tan(pi/3) = sqrt(3)

kde f´(x) znaci derivaciu funkcie f(x). Takze potrebujeme zistit, aka je derivacia funkcie f(x), vypocet je na prilozenej fotke, vyuziva sa retazove pravidlo pre derivovanie. Potom uz len nasadime podmienky pre derivaciu zodpovedajuce jednotlivym dvom pripadom a najdeme x1 a x2, vypocet je opat prilozeny. V pripade f´(x1) = 0 nam vyjdu dve riesenia, avsak vyuzitim x >= -2 (inak by sme pod odmocninou mali zaporne cislo) ostane len jeden koren. V pripade f´(x2) = sqrt(3) nam tiez vyjdu dve riesenia, avsak skuskou spravnosti (ktoru musime robit, lebo sme pouzili dosledkovu upravu rovnice umocnenie na druhu) prejde iba koren x2 = 2.

Ostava nam urcit rovnice tychto dotycnic. Vysvetlime si to na priklade f´(x2) = sqrt(3), pripad f´(x1) = 0 by to islo obdobne. Vieme, ze dotycnica je priamka, a tak jej rovnica ma tvar y = ax + b. Koeficient a pozname, je to prave smernica danej priamky, a teda a = sqrt(3). Ostava urcit koeficient b. Tu vyuzijeme, ze dotycnica musi pretinat bod [x2, f(x2)], pretoze v tomto bode ma rovnaky sklon ako funkcia f(x) (pretoze v tomto bode plati f´(x2) = sqrt(3)). Koeficient b potom vypocitame ako b = f(x2) - sqrt(3)*x2, cim sme hotovi, analogicky postup pre pripad f´(x1) = 0, vtedy vyjde a = 0 a teda b = f(x1).

Este by sa dalo pytat, ze ci nie je derivacia funkcie f(x) rovna nule alebo sqrt(3) aj v inych bodoch, resp ci sme nasli vsetky riesenia. To, ze su naozaj vsetky, vidno z grafu funkcie f(x), ktory posielam prilozeny nizsie.

Ak by ste mali este hociake dalsie otazky, kludne sa spytajte, snad vam to pomohlo:)

Ahoj, Anonym!
Tú priamku p si treba zapísať v smernicovom tvare (y = kx + q) a potom si treba uvedomiť, že k = tg α, kde α = uhol medzi priamkou p a osou x.
K tomuto uhlu treba prirátať (aj odrátať) π/6 - tým získame všetky (2 rôzne) uhly, ktoré musia mať naše dotyčnice.
1. derivácia funkcie sa potom musia rovnať tangensu tých 2 uhlov - a je to.
Ak máš nejaké otázky, kontaktuj ma na https://www.facebook.com/miro.junos/.
Spp Miro